Existencia de Subálgebras de Cartan en Algebras de Lie Solubles
Resumen
59 hojas “Un álgebra de Lie es una estructura algebraica definida sobre un espacio vectorial,
además, el término “álgebra de Lie” (referido por Sophus), fue designado por Herman
Weyl en 1934; previamente, en sus trabajos de 1925, Weyl había utilizado la
expresión “grupo infinitesimal”.
Hablar de dichas álgebras es difícil, por ello, es conveniente hablar de las aplicación
de los trabajos de Sophus, como: la teoría de grupos y álgebras de Lie las cuales
son destacadas por ser una herramienta primordial en la solución de problemas de
1Fuentes, Luis y López, Víctor. Introducción a las álgebras de Líe,
Geometría, Ecuaciones Diferenciales, y la conexión de los problemas físicos con la
matemática abstracta teniendo aplicaciones en teorías modernas como la teoría de
súper-cuerdas. Esto y que matemáticos como el francés Jean Dieudonné se refieran
a la teoría de Lie como un gran eje gigante en los avances científicos, o que Albert
Einstein las usará en sus cálculos para la Teoría General de la Relatividad hace
pensar en lo importante de su estudio.
Un aspecto importante de la teoría, es que Cartan tuvo la oportunidad de conocer a
Lie, y decidió continuar con el trabajo de Sophus, por tanto, Killing-Cartan establecieron
el concepto de las subálgebras de Cartan las cuales sirven para clasificar las
álgebras de Lie, pero dicha clasificación la hicieron sin pensar si existían o no existían
las subálgebras de Cartan y luego de esa clasificación pensaron ¿existen esas
subálgebras?; por ello, realizamos una revisión bibliográfica y se encontró, que en
cientos de publicaciones, algunos autores han dado por hecho que las subálgebras
de Cartan existen en las álgebras de Lie y de esa forma, continúan con su análisis de
investigación, y por el contrario, en otras publicaciones otros autores dan por hecho
que las subálgebras de Cartan no existen en las álgebras de Lie y continúan con su
respectivo análisis de investigación, y por lo general en ninguno de los dos casos las
demuestran, es decir; dan por hecho que existen o no existen y continúan con su
trabajo.
En los cursos ofertados en el plan de estudios de Licenciatura en Matemáticas y
Física de la Universidad de los Llanos, se estudia la estructura de un álgebra y el
álgebra lineal, dejando de lado el estudio de otras álgebras como lo son las álgebras
de Lie, la cuál es un tema novedoso e interesante para cualquier estudiante de la
carrera.
De todo lo mencionado; es por ello que, en este trabajo estudiamos las extensiones
de los argumentos clásicos para establecer la existencia de las subálgebras de
Cartan en álgebras de Lie solubles de dimensión finita. Resultado final para optar el título de Licenciado en Matemáticas y Física
URI
https://repositorio.unillanos.edu.co/handle/001/1519
http://repositorios.rumbo.edu.co/handle/123456789/146738